Иван Михайлович родился в 1786 году. В 1797 году начал службу унтер-шихтмейстером 3-го класса в Екатеринбургской экспедиции мраморных ломок, в 1805-м был переведен на гранильную фабрику, в 1807-м произведен в коллежские регистраторы. В 1810 году И. М. Трапезников начал службу в Департаменте горных дел в Санкт-Петербурге.
В 1812 году ушел в Петербургское ополчение, при штурме Полоцка был ранен. За отличия получил орден Святой Анны 4й степени. Участвовал в заграничном походе. В 1813 году был переведен в Копорский пехотный полк в звании поручика, служил бригадным адъютантом во второй бригаде 6-й пехотной дивизии. За участие в кампании 1812 года получил серебряную медаль на голубой ленте. В 1817 году был произведен в штабс-капитаны, через год получил звание капитана.
В 1820 году И. М. Трапезников был уволен со службы «по ранению майором с мундиром и с пенсионом полного жалованья». В 1822 году назначен чиновником особых поручений по питейным сборам в Ярославскую казенную палату. С 1825 года служил в Корпусе инженеров путей сообщения.
В 1831 году вступил в брак с Марией Николаевной Бычковой, в приданое получил имение во Владимирской губернии. В 1832 году у них родилась дочь Екатерина, через год — Лидия.
В 1836 году И. М. Трапезников получил дворянство.
Овдовев, в 1841 году женился на Марии Николаевне Калачевой. Во втором браке родились дочери Лидия и Юлия — будущая бабушка А. Н. Колмогорова. Умер в 1851 году.